通报模型宇宙正义
泽尔麦的正义...
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策梅洛-弗伦克尔荟萃论的正义
正义
外延性
空集
配对
联盟
基础(或纪律性)
疏散图式
无穷
Powerset
选择
替换模式
替换的应用
历史
ZFC的一致性
通报模型
的最小通报模型
ZFC
?
-模型
ZFC
一致性条理结构
通报模型和强制
通报模型宇宙正义
每个型号的
ZFC包罗的模型ZFC作为一个元素
不行数通报模型
具有选择正义的策梅洛-弗兰克尔荟萃论(ZFC)是荟萃论者使用的尺度正义荟萃。
形式语言用来体现每个正义是一阶同等式的(=)在一起用一个二元关系符号，∈，意在体现荟萃会员资格。
空集正义和疏散模式是被厥后更具包容性的正义所取代。
正义
广泛性
荟萃由其元素唯一确定。
这是表达形式上作为
?х?g(?z(z∈хz∈g)→х=g).
的”→“可以替换为”“，但是←偏向是逻辑的一个定理。
可选地，正义外延可以作为一个平等的界说，一个差异的 axiom可以用在它的位置：?х?g(?α(α∈хα∈g)→?b(х∈bg∈b))
意味着具有相同元素的荟萃属于相同的荟萃。
空集
存在一些荟萃。
事实上，有一个荟萃不包罗成员。
这是正式表达的
?х?g(g?х).
这样一个х是唯一的，这个集适用?.
配对
对于任意两组х和g（纷歧定截然差异）有一个进一步设置z其成员正是荟萃x和g.
?x?g?z?ω(ω∈ z (ω=xVω=g)).
这样一个z具有唯一的外延性，体现为{х，g}.
联盟
对于任何设置х另有一组g他们的成员都是成员中的成员х。
也就是所有成员的联盟存在一个荟萃。
这被正式表达为
?х?g?z( z∈ g?ω(ω∈х∧ z∈ω)).
这样一个g是唯一的外延，写为g＝∪х.
基础(或纪律性)
每个非空荟萃х有一个与疏散的成员х，确保没有荟萃可以直接或间接地包罗自身。
这是表达形式上作为
?х≠??g∈x??z(z∈х∧ z∈ g).
相当于，由选择正义没有无限递减序列
···∈х?∈х?∈х?.
疏散图式
对于任何设置a和任何谓词Ρ(х)用ZFC语写的，布景{х∈α：Ρ（х）}存在。
更详细地说，给定任何
公式φ带有自由变量х?，х?，...，х?以下是一个正义：
?α?х??х?...?х??g?z（z∈ g（z∈α∧φ（х?，х?，...，х?，z）)
这样一个g，因外延性而奇特，并被写成(对于牢固荟萃α，х?...，х?)
g={z∈α：φ(х?，х?，...，х?，z）}.
到目前为止，我们还不能证明无限荟萃的存在。
也就是（Vω，∈）是前五个正义和无数疏散的例子。
的每个成员Vω是事实上是有限的Vω是遗传有限的荟萃荟萃。
这基本上是的尺度模型N.
无穷
有一个无限荟萃。
这被正式表达为
?х(?∈х∧?z(z∈х→ z∪{z}∈х).
此时，我们可以界说ω，＋，和·在ω，得出···的基本事实ω和数学原理感应开启ω（即，我们可以证明皮亚诺正义是真实的〈ω，+，·〉).但是我们还不能证明不行数荟萃的存在性。
Powerset
对于任何设置х另有一组g成员都是的子集х没有其他元素。
g是powerset关于х。
这被正式表达为
?х?g?z(z∈ g?ω（ω∈ z→ω∈х）)
[唯一无二的这样g被写成g=P(х).]
界说有序对（α，b）存在；成为{{α}，{α，b}}。
A关系是有序对的荟萃，函数是关系f到这样的水平(α，b)∈ f和(α，c)∈ f暗指b=c.
选择
主要文章：选择正义。
这个正义有许多表述。
这是历史上最多的有争议的正义ZFC.
?х[?g(g∈х→ g≠?)→?f(dom f＝х∧?α∈х(f(α)∈α）)]
由上述正义发生的理论被明确地闸述为策梅洛（1908年）。
大多数经典数学都可以在这里进行理论，但令人惊讶的是，没有序数大于（ω· 2）可以被证明存在于这个理论(至少策梅洛，谁简直忽略了Fraenkel等人发现的下一个正义）。
替换模式
如果α是一个荟萃和所有х∈α有一种奇特的y到这样的水平（х，g）满足给定的属性，则此类gs是一套。
更详细地说，给出一个公式
φ（х?，...，х?，х，g）以下是替换模式的一个实例：
forαllαforαllх....._1dot s forαllх_nbig\[dig(forαllхinαeхists!yuαrр]
替换的应用
替换正义证明了每个良序集都是同构于(唯一的)序数。
证明。
这足以讲明，每一个世界贸易组织〈L，＜?〉每一l∈L，L＜?={m∈L：m＜??}?（唯一的）序数f(l)。
牢固l∈L，l最不反例。
然后f界说于L＜?而且由替换，ran（f? Li）是一组序数
A。
凭据序数温顺序的基本事实，很容易看出A是一个序数α。
如果l是的继任者L工然后
L＜??α+1。
如果是一个限制L，那么
L＜??α.□
?x?α(x∈ Vα).
对于所有序数α，?α存在（即对于每个α至少有
α+1——许多无限红雀）。
此外，替换正义也证明了疏散，进而是空集正义。
此外，沿用幂集正义证明了配对正义。
历史
有待扩大。
ZFC的一致性
断言Con(ZFC)这个理论断言ZFC是一致的。
这是一个庞大的断言Π??在算术中，因为它断言每个自然的数不是矛盾证明的哥德尔码ZFC。
因为哥德尔完备性定理，断言相当于断言该理论ZFC有一个模型〈M，∈〉。
一个这样的模型是亨金模型，内置于任何完全一致的Henkin的语法历程中理论延伸ZFC。
一般来说，人们不能假定∈是实际的荟萃成员关系，因为这将使型号a的通报模型ZFC，它的存在是一个比Con(ZFC).
哥德尔不完全性定理意味着如果ZFC是一致，那就不能证明Con(ZFC)，所以这个正义的加法严格强于ZFC一小我私家。
该表达式Con?(ZFC）体现断言Con(ZFC+Con(ZFC))，并迭代这个更一般地说，人们可以考虑这样的断言Conα(ZFC)每当α自己就是可表达的。
通报模型
ZFC的通报模型是通报集M，使得结构〈M，∈〉满足荟萃论的所有ZFC正义。这样一个模型的存在严格强于Con（ZFC），强于迭代一致性条理，但弱于世俗基数的存在，即Vκ是ZFC模型的基数κ，其中Vk是ZFC的模型，因此也弱于不行会见基数的存在。
不是所有ZFC的通报模型都具有Vκ形式，因为如果存在ZFC的任何通报模型，那么通过Lowenheim-Skolem定理和Mostowski坍缩引理，存在这样的可数模型，而且这些模型从不具有形式Vκ。
然而，ZFC的每个通报模型M都提供了一个荟萃论论坛，人们可以在其中视察险些所有的经典数学。
在这个意义上，这样的模型是普通荟萃论结构无法会见或无法会见的。
因此，ZFC的通报模型的存在性可以被视为一个大的基本正义：它表达了一个大性的看法，而且这样的模型的存在在ZFC中是不行证明的，而且具有严格凌驾ZFC的一致性强度。
ZFC的最小通报模型
如果有任何通报模型M关于ZFC，那么L?，的盘算出的可结构宇宙M也是的通报模型ZFC事实上，它有这样的形式Lη，在哪里η=ht(M)是的高度M。
这最小通报的的模型ZFC是模型Lη，在哪里η是最小的，这是一个模型ZFC。
这个论点只是给定讲明，最小通报模型是所有其他模型的子集的通报模型ZFC.
它的高度小于最小的稳定的序数虽然稳定序数的存在在ZFC和通报模型的存在是不是。（马多尔，2017年)
ω-模型ZFC
一；一个ω-型号关于ZFC是···的模型ZFC谁的自然数的荟萃与实际的自然数是同构的数字。
换句话说，一个ω-模型是没有非尺度自然数，尽管它可能
有非尺度序数。(更一般地，对于任何序数α，安α-模型有至少有凭据的部门α。)的每个通报模型ZFC是一个ω-模型，但后一个看法是严格的更弱。
一致性条理结构
的存在ω-的型号ZFC而且体现Con(ZFC)虽然，另有Con(ZFC＋Con(ZFC))和迭代一致性条理结构的很大一部门。
这简直是因为如果M╞ ZFC而且具有尺度的自然数，然后M同意Con(ZFC)持有，因为它有相同的就像我们在情况配景下做的那样。
因此，我们认为M满足ZFC+Con(ZFC)因此我们相信
Con(ZFC+Con(ZFC))。
它再次得出结论M同意这一点一致性断言，所以我们现在相信
Con?(ZFC)。
模型M因此同意，所以我们认为
Con?(ZFC)以此类推，只要我们能够以这样的方式描述顺序迭代M正确地解释它们。
的每个有限片段ZFC允许许多通报模型，作为反射定理.
通报模型和强制
荟萃论的可数通报模型在历史上被用作形式化的便捷方式强制（force的现在分词形式）。
这样的模型M使强迫理论变得方便，因为一小我私家可以很容易证明对于每一个偏序Ρ在M，有一；一个M-通用过滤器 G?Ρ，只需枚举的密集子集Ρ在M以可数的顺序〈 D?│n＜ω〉，并构建一个降序序列р?≥р?≥р?≥···，与р?∈ D?。
该过滤器G由序列生成的是M -普通的。
出于一致性证明的目的，这种形式化的方式效果很好。
展示Con(ZFC)→ Con(ZFC＋φ)，修复
一个有限的片段ZFC而且与适当的可数通报模型一起事情大碎片，发生φ中包罗所需的片段迫使它延伸。
通报模型宇宙正义
这通报模型宇宙正义断言每个荟萃都是的通报模型的元素ZFC。
这个正义使一个比更强的声明费夫曼理论，因为它被断言为单个一阶索赔，但弱于宇宙正义，声称宇宙有这样的形式Vκ为难以接近的红衣主教κ.
通报模型宇审正义有时在非的配景理论ZFC，而是的ZFC山口，省略了幂集正义，以及断言每个荟萃都是可数的。
这样的企业相当于接纳后一种理论，不是作为数学的基本正义，而是作为配景元理论来研究多元宇宙透视，视察种种实际的荟萃论宇宙，完整的通报模型ZFC，涉及一个另一个。
每个型号的ZFC包罗的模型ZFC作为一个
元素
每个型号M关于ZFC有一个元素N，它认为荟萃论语言中的一阶结构的模型ZFC从外部看M。
这一点在的情况下M是一个ω-型号关于ZFC，因为在这种情况下M同意ZFC是一致，因此可以建设一个亨金模型ZFC。
在···里剩下的一个案例，M有非尺度的自然数。由反射定理应用于M，我们知道Σ?的片段ZFC在模型中是正确的V??M，对于每一个尺度的自然数字n。
因为M无法确定其尺度切割，因此肯定有一些不尺度n为了什么M有些人认为V??满足（非尺度）Σ?的片段ZFC。
因为n是非尺度的，这包罗完整的尺度的理论ZFC，凭据需要。
前一段提到的事实有时会被一些刚开始的荟萃论者发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与可以有模型的事实相矛盾。
ZFC+￢Con(ZFC)。
矛盾解决了，然而，通过意识到虽然这个模型N里面的M实际上是完整的模型ZFC，模型M不需要同意这是一个的模型ZFC，在这种情况下M有不尺度的自然数以及由此而来的非尺度长度正义ZFC.
不行数通报模型
追念一下，罗文海姆-斯科莱姆定理和莫斯托夫斯基折叠引理讲明如果有一个ZFC的通报模型(或其他荟萃论)，那么有一个可数的这样的模型。
这意味着 L每个不行数的通报模型是ZFC+的模V＝L+有可数 ZFC+的通报模型V＝L另有可数的通报模型这个理论的高度肯定比最小模型高。
同样，也有主张任何数字的理论通报模型差异高度的可数通报模型ω?（其寄义取决于型号：通常ω???≠ω???).
此外，另有通报模型主张存在的理论α的可数通报模型ZFC+有ω? ZFC的可数通报模型差异的高度差异的高度等等。
因此，如果有一个不行数通报模型，那么有“真的很是多”(在“etc”体现的非正式意思。)可数通报的模型，它们是无限的ω?(否则他们可以没有ω?高度差异）。
假设在V我们有一个基数高度的通报模型κ。
我们可以把每一个不行数的继任者酿成红衣主教λ?≤κ到···里面ω?通过强迫(在V[G]).在···里V[G]，通报模型在以下方面是无界的ω??[?]（=（λ?）?≤κ）.
a的可结构宇宙通报模型(L?????）是ZFC+的规范V＝L而且它是的一个元素L这是常见的V和V[G]。
所以模型ZFC+V=L在...方面不受限制(λ?)?在V。他们中的一些人基数的高度λ而且他们“很是多”。
因此，如果存在基数高度的通报模型κ，那么就有“很是多”的高度通报模型所有基数λ＜κ.
特别是，ZFC的模型(和ZFC+ZFC的模型)是无限的等等。)是无限的Vκ为世间的κ，就像在Vκ为难见到的κ有世俗的，世俗的，超世俗的等等。
红衣主教。
参考
1.马多尔博士（2017）。普通人的动物园。
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