证明。
我们将使用险些不相交的编码，通过五步强制来发生实z。
对于这种强迫的介绍，参见例如[3]的视察或[38]，其中给出了类似的论点。
我们在地面模型上进行强制
Lp????(x，K??│(γ?)??).
Lp????(x，K??│(γ?)??)是M?的一个可界说集，因为凭据表述2中的性质(4)我们获得
M#????(x，K??│(γ?)??)∈M?
凭据引理3.23，对M#????(x，K??│(γ?)??)及其图像的最小测度进行ω??次迭代，并在ω??处截断，获得下半模型Lp????(x，K??│(γ?)??)
这意味着，特别是cf（γ）????????，???│(γ?)???≥ω???.
唱。
步骤1：为地面模型写入V?＝Lp????（x，K??│(γ?)??）我们从一个预备强迫开始，它将ω???以下的一切坍缩为ω，之后我们将γ坍缩为ω???。
所以设G?∈ V为Col(ω，＜ω???)-一般除以
V?，设V'?＝V?[G?].
此外，设G'?∈ V为Col(ω???，γ)-泛型V'?，设V?＝V'?[G'?].
所以我们有ω???＝ω???通过我们选择的γ，也就是cf(γ)??≥ω???，我们另有(γ?)??＝(γ?)???
＝ω???.
我们写ω?＝ω???ω?＝ω???
进一步，设A'是编码G?和G'?，的序数荟萃，这样，如果我们令A?(γ?)??
x?（K??│|(γ?)??)?A'，
然后我们有G?，G'?∈ Lp????(A)和K??│(γ?)??∈ Lp????(A).
事实上，我们可以选择荟萃A使V?＝Lp????(A)通过下面的论证：追念一下
Lp????(A)＝M(A)│ω??，
其中，M(A)体现Iω??，式中M#????(A)对荟萃A的最小测度及其像的迭代。
然后我们可以认为G?在模型M(x，K??│(γ?)??)上是泛型的，而G'?在模型M(x，K??│(γ?)??)[G?]，上是泛型的，其中M(x，K??│(γ?)??)体现ω?? M#????(x，K??│(γ?)??的最小测度及其像的迭代。
由于步骤1中的两种强迫都发生在（γ?）??＜ω??以下，
因此证明中有定理2.25M(x，K??│(γ?)??)[G?][G'?]＝M(A)对于荟萃A?(γ?)??
编码x，K??│(γ?)??，G?和G'?，因此我们获得V?＝M(A)│ω??对于这个荟萃A，如所期望的那样。
步骤2：在我们可以使用ω?＝ω???，的险些不相交的子集执行第一次编码之前，我们必须“重塑”(γ?)??＝ω???和ω?之间的间隔，以确保我们将在步骤3中执行的编码存在。
此外，我们必须确保重塑强迫“自己不会使ω?和(γ?)??瓦解。
我们将通过证明重塑强迫是＜(γ?)??-漫衍来证明这一点。
我们将使用以下重塑的看法。
界说3.28。
设n为基数，设X?η?，我们设函数f为(X，η?)-对某些f：α→ 2以及对所有α≤η?且ξ≤α的函数ξ＜η?进行重塑，我们有
(i)L[x∩ξ，f?ξ]?|ξ|≤η，or
(ii)有一个模型N和一个Σ?-elementary嵌入
j：N→Lp????(X)│η??对于足够大的k＜ω，使得
(a) crit(j)＝ξ，j(ξ)＝η?，
(b)ρ???(N)≤ξ，N为大于ξ的声音，而且
(c)明确地在N上存在一个抛射g：η→ξ.
为了未来的目的，请注意，如果N如上面第
(ii)款所示，则N? Lp????(X∩ξ).
现在我们用P?体现为(A，(γ?)??-添加(γ?)??＝ω???，重塑函数的力，在我们的新地面模型V?＝Lp????(A)中界说。
我们设p∈P?，如果p是一个(A，(γ?)??)整形函数，且dom(p)＜(γ?)??，我们在P?中通过反向包罗对两个条件p和q排序，这意味着我们设p≤p? q iff q? p.
首先注意到强制P?是可扩展的，这意味着对于每一个序数α＜(γ?)??，荟萃Dα＝{p∈ P?│ dom(p)≥α}在P?.中是开放和密集的。
事实上，对于每一个p∈P?和每一个α＜(γ?)??，存在一些q≤??，p使得dom(q)≥α和L[A∩ξ，q?ξ]?|ξ|≤η对于所有的ξ，dom(p)
＜ξ≤ dom(q).
现在我们要证明P?是＜(γ?)??-distributive。
为此，我们牢固了一个条件p∈ P?和开密集集
(D?│β＜ω?）.
我们的目标是找到一个条件q≤??，p使得q∈D?对所有β＜ω?.
考虑，对于一个足够大的牢固自然数k，模型Lp????(A)＝V?.的可通报Σ?-初等子结构更准确地说，我们想要选择一个连续序列
(Nα，πα，ξα│α≤ω?)
通报模型的巨细为|ω???|的Nα以及Σ?-elementary初等嵌入
πα：Nα→ Lp????(A)
以及一个序数ξα的递增序列，使得我们有p∈ N?，而且对于所有α≤ω?
(1)crit(πα)＝ξα withπα(ξα)＝(γ?)??，
(2)对于所有序数α＜ω?，我们有ρ???(Nα)≤ξα且Nα在ξα之上，和
(3){p}∪{D?│β＜ω?}? ran(πα).
对于所有α≤ω?， Nα sw，我们可以归纳出如下性质的Nα和πα。
设M?为的(未坍缩)Σ?-hull属于
γ∪{p}∪{D?│β＜ω?}
在Lp????(A)内.
然后让N?成为M?的Mostowski瓦解，让
π?：N?→ M??Σ?，Lp????(A)
为临界点为ξ?.的Mostowski坍缩的逆嵌入。
现在假设我们已经为一些α＜ω?结构了
(Nα，πα，ξα)和Mα。
然后设Mα??为（未坍塌的）Σ?-hull属于
γ∪{p}∪{D?│β＜ω?}∪Mα∪{Mα}
在Lp????(A)内.进一步设Nα??为Mα??的Mostowski塌缩，允许
πα??：Nα??→ Mα???Σ? Lp????(A)是由临界点为ξα??.的Mostowski坍缩获得的嵌入的逆。
注意我们有ξα??＞ξα.
此外，如果我们假设(Nα，πα，ξα)已经为所有的α＜λλ≤ω?，结构了，那么我们让
Mλ＝∪Mα，
α＜λ
设Nλ为Mλ的Mostowski坍缩，并具有逆坍缩嵌入的
πλ：Nλ→ Mλ，
临界点临界(πλ)＝ξλ.
追念一下，我们牢固了开密集集(D?│β＜ω?)我们现在要结构一个条件序列(Pα│α≤ω?)使得所有α＜ω?.的Pα??≤P? Pα和Pα??∈Dα.
而且，我们要结构这些条件使我们归纳地保持pα∈πα??(P?)? Nα.
我们从p?＝p∈N?开始.
对于后续步骤，假设我们已经界说了pα∈πα??(P?)? Nα对于某个α＜ω?。
然后我们有dom(pα)＜ξα
(ξα│α＜λ)的临界点序列(πα│α＜λ)在Nλ上是可denable的，因为对于α＜λ，模型Nα即是Nλ的Σ?-elementary子模型的可通报坍缩，该子模型在Nλ内部结构与在上面的Lp????(A)内部结构完全相同。
因此，我们有这个cf?λ(ξλ)≤λ≤ω?＝ω???这意味着Nλ?|ξλ|≤ω???.由于dom(pλ)＝ξλ，这让我们知道pλ实际上是强制P?的一个条件。现在考虑函数q＝pω?.
然后q∈P?和q∈D?对于所有β＜ω?.
我们已经证明了重塑力P?是＜(γ?)??漫衍的，因此不会坍塌ω?和(γ?)??＝ω?.
设G?为一般的p? V?设V?＝V?[G?].
强迫P?的可拓性使得∪G?是一个具有(γ?)??界说域的(A，(γ?)??)-整形函数。
设B'是编码函数UG?的(γ?)??的子集，例如，以UG?为特征函数的(γ?)??的子集。
最后，设B?(γ?)??为A? B'的编码。
在第1步结束时，我们可以选择代码B?(γ?)??，使模型V?的形式为Lp????(B)，通过以下参数
Lp????(B)＝M(B)│ω??，
其中，M(B)体现M#????(B)的最小测度及其图像的ω??次迭代。
因此，我们可以认为G?是M(A)上的泛型。这发生了在第1步结束时的论证，我们可以选择B，使V?＝M(B)│ω??，因为“重塑强迫”P?发生在(γ?)??＜ω??以下.
因此，我们获得了它
V?＝Lp????(B).
步骤3：现在我们可以使用ω?＝ω???＝ω???的险些不相交的子集来执行第一个编码。
由于B是“重塑的”，我们可以归纳地结构一个ω?的险些不相交子集序列，
（Aξ│ξ＜(γ?)??)，
如下。
设ξ＜(γ?)??使得我们已经结构了一个ω?的险些不相交子集的序列(A?│?＜ξ).
案例1。L[B∩ξ]?|ξ|≤ω???.
那么我们让Aξ是ω?的最小子集?在L[B∩ξ]中，它也与任何A?最不相交对于?＜ξ而且满足
|ω?\∪Aξ|＝??
?≤ξ
情况2，否则。
设N是Lp????(A∩ξ)Lp????(B)的最小初始段，使得ρω(N)≤ξ，N是健全的，ξ，ξ是N中最大的基数，而且在N上可界说存在满射g：ω????ξ，现在设Aξ是ω???的最小子集，它在N上可界说，对于?＜ξ险些与任何A?不相交，而且满足
|ω?\∪?≤ξ A?|＝??.
在这种情况下，荟萃Aξ是界说良好的，这是由于荟萃B?(γ?)??被下面的自变量“重塑”。由于B被“重塑”，因此在上述的情况2中，即存在界说3.28(ii)中的模型N。我们有N? Lp????(A∩ξ).一般来说，纷歧定是这样Lp????(A∩ξ)Lp????(B)即是Lp????(A∩ξ)(见引理3.25)，但由于ξ是N中最大的基数，因此实际上N? Lp????(A∩ξ)Lp????(B).因此，在ξ处见证B“重塑”的任何N都是Lp????(A∩ξ)Lp????(B)使得荟萃Aξ确实是界说明确的。
序列(Aξ│ξ＜(γ?)??)现在可在V?＝Lp????(B)中界说.
现在设P?是由险些不相交集(Aξ│ξ＜(γ?)??)的ω?的子集对编码B的强迫，这意味着p∈ P?是一个对(pι，p?)，使得对于某些α＜ω?，pι：α→ 2，而且p?是(γ?)??的可数子集.
我们说 p＝(pι，P?)使得pι：α→ 2对于某些α＜ω?和p?是（γ?)??.我们说p＝（pι，p?)≤P?（qι，q?)＝q iff qι? pι，q?? p?，而且对于所有ξ∈q?，我们有，如果ξ∈B，那么
{β∈ dom(pι)\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Aξ＝?.
一个简朴的论点讲明(γ?)??-c.c.对于强迫P?建设.更重要的是，它是ω-闭的，因此没有基数塌陷。设G?是P?-V和let上的泛型
C'＝∪{β∈ dom(pι)│pι(β)＝1}.
p∈G?
那么C'?ω?对于所有ξ＜(γ?)??，
ξ∈B iff|C'∩Aξ|≤??.
最后，设V?＝V?[G?].通过与我们在第2步结束时给出的论点相同的论点，我们可以得出
V?＝Lp????(C)
对于某些荟萃C?ω?编码C′和实数x，由于模型Lp????(C)可以通过以下参数乐成地完全解码荟萃B?(γ?)??我们归纳地证明了对于每一ξ＜(γ?)??，(A?│?＜ξ)∈ LP????(C)和B∩ξ∈ LP????(C).获得B∈ Lp????(C).
对于归纳步骤，设ξ＜(γ?)??为序数，并假设归纳获得
(A?│?＜ξ)∈ Lp????(C).
因为对于所有?＜ξ，
?∈B iff|C'∩Aξ|≤??，
我们有B∩ξ∈ Lp????(C).
在情况1中，即，如果L [B∩ξ]?|ξ|≤ω???，则可以容易地在LP????(C)内识别荟萃Aξ。在情况2中，设N是Lp????(A∩ξ)Lp????(C)的最小初始段，使得ρω(N)≤ξ，N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，而且在N上可界说存在满射，g：ω??ξ.这样一个N的存在是由于B被“重塑”的事实：甚至存在一些N? Lp????(A∩ξ)，使得ρω(N)≤ξ，
N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，而且在N上可界说存在满射 g：ω??ξ；和Lp????(A∩ξ)Lp????(C)? Lp????(A∩ξ).因此，存在具有这些性质的Lp????(A∩ξ)Lp????(C)的最小初始段N，而且它也将是Lp????(A∩ξ)的初始段，而且N也将是用于识别Lp????(A∩ξ)的Lp????(B)(对于上述B)的初始段。用于判定Aξ.我们已经证明，在每种情况下，Aξ都可以在内部识别，Lp????(C).
由于下一个Aξ的识别是凭据统一的法式进行的，我们实际上获得了这一点
(A?│?≤ξ)∈ Lp????(C).
步骤4：在我们可以“code down to a real”之前，这意味着我们可以找到一个实数z，使得K??│|(γ?)??∈ Lp????(z)，我们必须执行另一个类似于步骤2的“整形”。所以让P?是加一个（C，ω?)-在V?中事情的整形函数作为新的地面模型，其中ω?=ω???=ω???.这意味着我们设p∈P?当p是(C，ω?)-dom(p)＜ω?的整形函数. P?中两个条件p和q的阶再次通过反向包罗，意味着p≤?? q iff q? p.
强制P?是可扩展的，而且＜ω?-是由与我们在步骤2中给出的参数相同的参数分配的，因为我们有V?＝Lp????(C).因此，P?不塌陷ω?.
设G?是P?-V?上的泛型并设V?＝ V?[G?].我们又获得了一个∪G?是(C，ω?)-具有域ω?的整形函数因为P?是可扩展的。设D'是ω?的子集哪一个编码∪G?，例如ω?的子集哪一个bos∪G?作为其特征功效。最后，iet D?ω?代码C?D'.
通过与我们在步骤2结束时给出的相同的论证，我们实际上可以获得
V?＝Lp????(D).
步骤5：现在我们准备好最后“编码到实数”。由于D是“重新成形的”，我们可以考虑一个统一界说的序列
(Bξ│ξ＜ω?)
ω的险些不相交的子集，如步骤3，其中ω?＝ω???＝ω???.
现在我们让P?是ω的子集使用险些不相交集对D进行编码的强制（Bξ│ξ＜ω?).这意味着一个条件p∈p?是一对（pι，p?)使得pι：α→ 2对于某些α＜ω和p?是ω?的有限子集.我们说p＝（pι，p?)≤P?（qι，q?)＝ q iff qι?pι，q?? p?，而且对于所有ξ∈q?，我们有，如果ξ∈D，那么
{β∈ dom(pι)\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Bξ＝?.正如在上面的步骤3中一样，一个简朴的论点讲明，强迫P?拥有c.c.c.，因此没有枢机主教瓦解。最后，设G?是P?-V?上的泛型然后让
E'＝∪{β∈ dom(pι)│pι(β)＝1}.
p∈G?
那么E'?ω，我们对所有ξ＜ω?都有，
ξ∈D iff│E'∩Bξ│＜??.
设V?＝V?[G?]最后，设z是实数编码E’和实数x.类似于步骤3末尾给出的自变量，我们可以选择实数z≥? x这样我们就有
V?＝Lp????(z)
和型号Lp????(z)能够乐成地解码荟萃D，从而也解码荟萃A.
这最终得出我们有一个实 z≥? x使得
(γ?)??＝ω??????????
和
K??│(γ?)??∈ Lp????(z).