（请直接跳到正文第一章，前几章纯叠盒）
【省流：时空治理局总理所结构的便捷权衡战斗力的尺度，共三大类【超凡】、【时空】、【神识】，每一大类共10级，每级间的差距极大，品级越高越强】
第一大品级：【超凡】：超凡脱俗的生命体常用的权衡尺度。
【超凡品级：1】超人类：（人类顶尖）（能量：1.06×10^2～3×10^2J）
【超凡品级：2】爆砖：（破坏砖块）【参考：重机枪子弹】（能量：3×10^2～1.5×10^4J）
【超凡品级：3】爆墙：（一面石砖墙）【参考：RPG火箭筒】（1.5×10^4～2.092×10^7J）
【超凡品级：4】爆屋：（一层楼）【参考：2000磅航弹】（能量：2.092×10^7～1.046×10^9J）
【超凡品级：5】大楼:（居民楼）【参考：炸弹之母】（能量：1.46×10^9～4.6024×10^10J）
【超凡品级：6】街区:（直径1～2km的街区）【参考：黎巴嫩大爆炸、广岛原子弹】（能量：4.6024×10^10～4.184×10^12J）
【超凡品级：7】都市:（东京市）（10～2000平方公里）【参考：沙皇炸弹】（能量：4.184×10^15～4.184×10^17J）
【超凡品级：8】国家:（日本）【参考：德干暗色岩事件】（能量：4.184×10^21～4.184×10^23J）
【超凡品级：9】大陆:【参考：西伯利亚暗色岩事件】（能量：3.17984×10^24～1.24×10^29J）
【超凡品级：10】地表:（地球地表）【参考：休伦冰期】（能量：1.24×10^29～1.81×10^30J）
第二大品级：【时空】普通凌驾生命体的看法
【时空品级：1】爆星/行星:（扑灭地球）（能量：1.81×10^30～6.906×10^37J）
恒星:（红矮星~盾牌座uy）（能量：3.319×10^40～2.277×10^45）
【时空品级：2】星系:（银河系）（能量：1.035×10^66～8.593×10^68J）
宇宙结构:（大于超星系团，小于单体宇宙皆可）（能量：＞2.825×10^92J）
【时空品级：3】单体宇宙:N（扑灭一个无穷大的宇宙，其N为无限大）（能量：∞）
超单体:(N，N^2)（复数单体宇宙）
【时空品级：4】多元宇宙:N^2（扑灭无限个单体宇宙）
超多元:（N^2，N^3）（介于上下之间）
无限多元:N^3＝N↑3（扑灭无限个多元宇宙）
高阶多元:[N^3，N^N）（介于上下之间）
【时空品级：5】无限盒子:N^N＝N↑N＝N↑↑2（扑灭单体宇宙的无限次方）
二阶无限盒子：（N^N）×（N^N）＝（N^N）^2
三阶无限盒子：（N^N）×（N^N）×（N^N）＝（N^N）^3
…………
【时空品级：6】无限阶无限盒子：（N^N）×（N^N）×（N^N）×……＝（N^N）^N
高阶无限层无限盒子：（（N^N）^N）^3以上
无限层无限阶无限盒子：（（N^N）^N）^N＝（无限阶无限盒子）^N
无限阶无限层无限阶无限盒子：（（（N^N）^N）^N）^N
…………【时空品级：7，介于上下之间】
【时空品级：8】无限次方无限盒子：（…（（（（N^N）^N）^N）^N）^……）N^N^N＝N↑↑3（三层指数塔）
（高阶无限次方无限盒子：大于三层指数塔，小于无限层无限盒子）
四层指数塔：N^N^N^N＝N↑↑4
五层指数塔：N^N^N^N^N＝N↑↑5
…………
【时空品级：9】无限层指数塔：N^N^N^N^………N＝N↑↑N
……………
无限盒子层指数塔：N↑↑（N^N）
……………
【时空品级：10】超指数塔：N↑↑↑↑↑……………N＝N→N→N
………
第三大品级：【神识】：意味着【时空】所无法触及的，更强大的权衡尺度。
【神识品级：1】阿列夫1
阿列夫2
…………
阿列夫不动点
………
世界基数：如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型，那么κ是一个世界基数。
【神识品级：2】不行达基数：这个基数不与自然数集等势，＞N0，其序数为a，
设定β是序数，称β∪{β}为β的后继.可以证明，β是序数，则β的后继也是序数，记为β+1.
而序数α，不行以找到序数β，使α为β的后继，即不存在?β(α=β+1)。
马洛基数：如果k是一个马洛基数，那么其之下的不行达基数将组成「驻集」，上述的那些迭代层级通过过滤，岂论何等高的层级，永远会停留在驻集之中，这个驻集远大于整个不行达之处却远小于最小的最小的马洛基数。
弱紧致基数：对于一阶逻辑语言的扩张Lλμ，即对任意α＜λ，允许语句的α次合取∧ξ＜αΦα和或取Vξ＜αΦα仍作为一个语句；以及对任意β＜μ，允许语句中泛起β次存在量词?ξ＜βxξ和全称量词?ξ＜βxξ；若 Lκκ的字母表仅含有κ个非逻辑符号，而且 Lκκ的子集（语句集）T存在模型（一致）当且仅当 T的每个基数＜κ的子集∑都存在模型（一致），则称κ是弱紧致基数。
不行描述基数：基数K称为∏nm-indescribable如果对于每个∏m命题(φ。
而且设置A?∨κ与(Vκ+n，∈，A)╞φ存在一个α＜κ与(Vα+n，∈，A∩Vα)╞φ。
这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。
∏nm-indescribable的基数以类似的方式界说。这个想法是，纵然具有特别的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区离开来（从下面看）。
这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。
如果基数κ是∏nm，则称它是完全不行描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。
强可展开基数：形式上，基数κ是λ不行折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的通报模型 M，使得κ在M中而且M包罗其所有长度小于κ的序列，有一个将M的非平凡初等嵌入 j到通报模型中，其中 j的临界点为κ且j(κ)≥λ。
一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数λ都是λ可展开的。
基数κ是强λ不行折叠的，
当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的通报模型 M使得κ在M中而且M包罗其所有长度小于κ的序列，有一个非-将M的j简朴基本嵌入到通报模型“N”中，其中j的临界点为κ，j(κ)≥λ，而且V(λ)是N的子集。
不失一般性，我们也可以要求N包罗其所有长度为λ的序列。
可迭代基数：将基数κ界说为可迭代的，前提是κ的每个子集都包罗在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有凭据的迭代。
Gitman给出了一个更好的看法，其中一个基数κ被界说为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才气有充实凭据。
拉姆齐基数：让[κ]＜ω体现κ的所有有限子集的荟萃。如果对于每个函数，基数κ称为 Ramsey
f :[κ]＜ω→{0，1}存在基数为κ的荟萃A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。
如果A可以被选为κ的牢固子集，则基数κ被称为不行言说的Ramsey。
如果对于每个函数，基数κ实际上被称为Ramsey
f :[κ]＜ω→{0，1}存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不行数共尾性的每个λ，都存在一个与 f齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的看法，其中对于每个λ＜κ，需要有序类型λ的f的同质集。
可测基数：为了界说这个看法，人们在基数κ上或更一般地在任何荟萃上引入了一个二值怀抱。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ自己很大，?而且所有单例{α}，α∈κ很小，小集的补集很大，而且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事实证明，具有二值测度的不行数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。
形式上，可测基数是不行数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列Aα，α＜λ的基数λ＜κ，Aα是成对相交的小于κ的序数集，Aα的并集的怀抱即是小我私家Aα的措施。)
强基数：如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数而且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ?M
也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。
伍丁基数：f :λ→λ
存在一个基数κ＜λ和{f(β)|β＜κ}和基本嵌入，j : V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可通报的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)?M
一个等效的界说是这样的：
λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是很是难以接近的A?V_λ存在一个λ_A＜λ这是＜λ-A-strong的
超强基数：当且仅当存在基本嵌入 j：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)?M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)?M。
AkihiroKanamori已经讲明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度凌驾n-huge基数的一致性强度。
强紧致基数：当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是凭据无限逻辑界说的，其中允许逻辑运算符接纳无限多的操作数。
通例基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来界说的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。
具体来说，从其他一些陈述荟萃中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子荟萃中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所体现。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不行能都是真的。
强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。
一些荟萃论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。
然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点
j : V→V的V进入自身。
这个界说明确地引用了适当的类j.在尺度ZF中，类的形式为{x|Φ(x，a)}对于某些荟萃a和公式Φ.
但是在 Suzuki中讲明没有这样的类是基本嵌入j：V→V.
另有其他已知纷歧致的Reinhardt基数公式。
一是新增功效符号j用ZF的语言，连同正义说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的疏散和收集正义j.
另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们认可在上述意义上不需要界说的类。
简朴来说，反射论证j：V→M的强度会随着M的扩张而不停增强，所以在M为V时（即j：V→V）会发生这种情况下最强大的基数，即莱因哈特基数。
【神识品级：3】Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel荟萃论模型中的基数κ，具有以下性质：
对于包罗κ和α＜κ的每个通报集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜临界点＜κ
Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数正义，这意味着它们与选择正义不兼容。
作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。
这意味着我们有基本的j 1，j 2，j 3... j 1 :(Vκ，∈)→(Vκ，∈)， j 2 :（Vκ，∈，j 1 )→(Vκ，∈，j 1 )，j 3 :(Vκ，∈，j 1，j 2 )→(Vκ，∈，j 1，j 2)……………………
可连续任意有限次，而且在模型具有依赖性选择的规模内无限。
因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简朴地增强这一看法。
对于每个序数λ，存在一个ZF + Berkeley基数的通报模型，该模型在λ序列下是关闭的。
【神识品级：4】冯·诺依曼宇宙V
（V?=?V＿α+1=P(V＿α)若λ为极限序数，则V_λ=∪_k<λ V_k，∪_k V_k，k跑遍所有序数。）
冯·诺依曼宇宙（宇宙V）=Ultimate L（终极L）其中冯·诺依曼宇宙（宇宙V）（V?=?V＿α+1=P(V＿α)若λ为极限序数，则V_λ=∪_kλ V_k，∪_k V_k，k跑遍所有序数。）=Ultimate L（终极L）
（V=终极L的前置条件：一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂正义UA+地面正义GA+存在一个最小强紧致基数建设。
一个内模型是终极-L必须是基于战略分支假设SBH。V=终极-L是一个多元一阶算术荟萃论。存在V=终极-L的有限正义化。存在真类多的Eη基数而且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。
对于每一个超紧致基数的极限基数λ， ADλ建设。伊卡洛斯基数之下的每一个≥I0基数的真类初等嵌入具有三歧性。如果V[G]是V的脱殊荟萃扩张而且V在V[G]的ω?序列下不关闭那么V[G]≠终极-L而且V[G]中普遍分区正义不建设。见证普遍分区正义建设。见证强普遍分区正义建设。
终极L是一个规范内模型，并见证地面正义Ground Axiom建设。V=终极L的直接推论：见证最大基数伊卡洛斯的存在性。见证真类多的武丁基数，终极L是最大的内模型。见证能够和选择正义兼容的最大的类- ADR正义，而且θ是正则的。拥有最大的证明论序数。
（纵然序数分析目前远未到ZFC的水平）见证能够和选择正义兼容的）那么我们现在以宇宙V（或终极L）为底，向更高层面的扩展。
复宇宙
（假没M是一个由ZFC模型组成的非空类：我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：
⑴可数化正义
⑵伪良基正义
⑶可实现正义
⑷力迫扩张正义
⑸嵌入回溯正义
对于任意荟萃论宇宙V若W为荟萃论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可界说的，那么W可同样作为一个荟萃论宇宙。
对于任意荟萃论宇宙V那么任意位于V内的力迫P，存在一个力迫扩张V[G]其中G?P为V-generico对于每一个荟萃论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V?Wθ?W对于每一个荟萃论宇宙V，从另一个更好的荟萃论宇宙W的角度来说是可列的。
从另一个更好的荟萃论宇宙的角度来看，每一个荟萃论宇宙V都是ill-founded的简朴说，存在一个荟萃论宇宙V，而且对任意荟萃论宇宙M，存在一个荟萃论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V即是复宇宙。在复宇宙中，没有哪个荟萃论宇宙是特此外，任何荟萃论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。）
脱殊复宇宙（令M为ZFC的可数通报模型，则由M生成的脱殊复宇宙V?为满是以下条件的最小模型类：⒈M∈V?⒉如果N∈V?，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈V?⒊如果N∈V?，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈V?简朴说，V?是包罗M而且对脱殊扩张和脱殊收缩关闭的最小模型类。如果荟萃论多宇宙是由荟萃论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的荟萃论宇宙是脱殊扩张的一个荟萃论宇宙的内模型)下关闭而发生的，那么它就是脱殊复宇宙。也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。）
复复宇宙（存在一个复宇宙.而且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N，使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。
就像复宇宙正义对复宇宙的描绘，其中的荟萃论宇宙没有哪个是特此外，对任何荟萃论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙正义表达的是每个复宇宙也都不是特此外，而且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙于是我们可以继续，获得复复复宇宙等……）
玄宇宙（逻辑多元）［V-logic］
①V逻辑多重宇宙（The V -logic Multiverse〈“荟萃论多重宇宙”的看法在关于荟萃论基础的争论中泛起并逐渐获得重视。
到目前为止，已经提出了几个荟萃论多重宇宙的看法，所有这些看法都有优点和缺点。
Hamkins的广义多重宇宙([4])，由荟萃论正义荟萃的所有模型组成，在哲学上是稳健的，但在数学上是不吸引人的，因为它可能不能满足荟萃论的基本要求。
steel的集泛多重宇宙([5])由正义ZFC+Large Cardinals的所有布尔值模型VB组成，在数学上是很是有吸引力和富厚的，但过于局限。
特别是，它不能捕捉所有可能的外部模型，只关注荟萃泛型扩展。
最后，Sy Friedman的超宇宙看法([2])，虽然在数学上是多才多艺的，而且具有基础性的吸引力，但其主要缺点是假设V是可数的。
在本文中，我们引入了荟萃论多重宇宙的一个新看法，即“V-logic多重宇宙”，它扩展了在超无量纲法式([1]，[3])中进行的数学事情，但也利用了荟萃广义多重宇宙的特征，特别是Steel提出的对它的正义化。
V-逻辑是一种无限逻辑(一种允许公式和无限长度证明的逻辑)，其语言Lκ+，ω，除了一阶逻辑中已经使用的符号之外，还包罗κ-多个常数a，每个常数a∈V。
在V-逻辑中，当且仅当M是V的外部模型时，可以保证某些模型M满足关于ZFC+ψ的一致性的陈述，对于某些荟萃论陈述ψ，当且仅当M是V的外部模型。
通过荟萃强制、类强制、超类强制以及通常任何能够发生V的宽度扩展的模型理论技术获得的模型。
因此，通过选择合适的一致性声明，我们可以生成具有特定特征的外部模型M。
V逻辑多元宇宙正是V的所有这些外部模型的荟萃。）
②steel的计划：证据框架、焦点和终极-L（Steel’s Programme: Evidential Framework， the Core and Ultimate- L〈我们利用Steel的多元宇宙正义$\mathf{MV}$和“焦点假设”，来确定荟萃论的“首选”宇宙和扩展$\mathf{ZFC}$的最佳正义。
在第一部门中，我们考察了$\mathf{MV}$的证据框架，特别是大基数和通过强制“体现”$\mathf{ZFC}$的可选扩展而获得的“世界”的使用。
在第二部门中，我们讨论了$\mathf{MV}_T$(其中T是$\mathf{ZFC}$+Large Cardinals)核的存在性和可能的特征。
在最后一部门，我们讨论了核是Ultimate-L的假设，并基于这一事实检验了Core Universist是否以及如何证明V=Ultimate-L是$\mathf{ZFC}$的最佳(和最终)扩展。
为此，我们考虑了几种战略，并凭据$\mathf{MV}$的证据框架评估了它们的前景。〉）
多元宇宙上的麦蒂（Maddy On The Multiverse）佩内洛普·马迪(Penelope Maddy)最近谈到了荟萃论多重宇宙，并对其职位和优点体现了保留(Maddy，《荟萃论基础》，收录于：Caicedo et al(eds)《数学基础》。
《纪念休·伍丁60岁诞辰的论文集》，《今世数学》，美国数学学会，普罗维登斯出书社，第2页。
本文的目的是利用荟萃论自然主义的解释框架来考察她的担忧。
我首先区分了“多元主义”的三种主要形式，然后继续分析麦蒂的关注。
除其他事项外，我考虑了多元宇宙相关数学的突出方面，特别是荟萃论中的研究项目，其中多元宇宙的使用似乎是至关重要的，并展示了如何凭据对“多元宇宙实践”的仔细分析，对Maddy的关注做出回应。
④多元宇宙理论中柏拉图主义的消解（Abolishing Platonism in Multiverse Theories）至少在已往二十年中，数学基础中争论的一个问题是，通过依赖于除单个荟萃论宇宙之外的多个荟萃论宇宙的存在，是否可以合理地论证处置惩罚不行判定的数学问题
(例如，连续体假设(CH))的优点，即，与荟萃的累积条理相关联的众所周知的荟萃理论宇宙V。
多重宇宙的要领有一些差异版本的多重宇宙的一般看法，但我的意图是主要解决本体论的多重宇宙，例如，Hamkins或V?t?nen所提倡的，正是因为他们宣称，在一个或另一个水平上，本体论的关注，以引入各自的多重宇宙理论。
同时，考虑到Woodin和Steel的多元宇宙版本，我提出了一个阻挡多元宇宙论的论点，并在一定水平上阻挡数学基础中的柏拉图主义，主要是基于主观基础，同时关注Clarke-Doane对Benacerraf挑战的关注。
我注意到，尽管这篇论文是在阻挡多元论的技术上构建起来的，但不行忽视的哲学部门在一定水平上受到了现象学看法的影响。
11荟萃论的点态可界说模型Pointwise Definable Models of Set Theory逐点可界说模型是指其中每个工具都可界说，而在荟萃论的模型中，这个性质增强了V=HOD，但是不是一阶可表达的。
然而，如果ZFC是一致的，那么连续化ZFC的多个逐点可界说模型。
如果有通报式 ZFC模型，则存在连续体多个逐点可界说通报此外，ZFC的每个可数模型都有一个类强制可逐点界说的扩展。
本文认为，Godel-Bernay荟萃论的每个可数模型都有一个逐点的可界说扩展，其中每个荟萃和类都是一阶可界说的没有参数。
12多重宇宙正义的自然模型（A Natural Model of the Multiverse Axioms）如果ZFC是一致的，那么可计数的荟萃可盘算地饱和 ZFC模型满足Hamkins提出的所有多重宇宙正义。
13接地正义与V=HOD一致（The ground axiom is consistent with V= HOD）基础正义认为，宇宙不是任何内部模型的非平凡集强迫扩展。
尽管这个断言具有明显的二阶性质，但它在荟萃论中是一阶可表达的。
以往已知的Ground Axiom模型都满足V=hod的强形式。
在本文中，我们证明了Ground正义与V=hod是相对一致的，事实上，ZFC的每个模型都有一个类强制扩张，即ZFC+ga+V=hod的模型。
该要领适用于大基数：例如，每个具有超紧基数的ZFC模型都有一个类强制扩展，其中ZFC+ga+V=hod保留了超紧基数。
由Hamkins和Reitz[Rei06，Rei，Ham05]引入的Ground Axiom是荟萃论的宇宙不是任何内部模型的非平凡的集强迫扩展的断言。
即，GroundAxiom断言，如果W是宇宙V的内部模型，且G对于非平凡强迫是W-generic，则W[G]=V。
例如，在可结构宇宙L中，在模型L[0#]中，在可测基数的内部模型L[μ]中，在大多数情况下，在焦点模型K中以及在荟萃论的许多其它正则模型中。
然而，令人惊讶的是，Ground Axiom并不在所有的正则内部模型中建设，因为Schindler已经视察到一个Woodin基数的最小模型M1是其迭代之一的强制扩展(也见下面的定理4)。
尽管GroundAxiom断言具有开端的二阶性质--究竟，它量化了宇宙的所有内部模型--GroundAxiom实际上是荟萃论语言中的一阶表达。Reitz[Rei06，Rei]证明了这一点，并在Woodin的文章附录[Woo]中独立地隐含了这一点。
这些论点划分依赖于Laver[Lav]最近的事情，利用Hamkins[Ham03]的要领，以及Woodin[Woo]的独立事情，证明了荟萃论W的任何模型在其所有集强制扩张W[G]中都是一阶可界说为一类的。
使用W中的参数。
由于界说是统一的，因此可以通过量化在该界说中使用的可能参数来有效地量化V的可能地面模型。
Reitz[Rei06，Rei]识别参数的一阶属性，从而允许其乐成地界说地面模型。
虽然，在任何非平凡集强制之后，Ground正义失败，Reitz视察到它在某些非平凡类强制迭代之后仍然可以建设。
例如，McAloon[McA71]和其他人很久以前就展示了如何强制2000数学主题分类的强版本。
03E35、03E45、03E55。
要害词和短语，强迫，基性正义，序数可界说性，V=hod.我们注意到本文作者组成了三代数学：Reitz是Hamkins的研究生，Reitz是Woodin的研究生。
14L上强迫Souslin树改变自同构塔的高度（Changing the Heights of Automorphism Towers by Forcing with Souslin Trees over L）我们证明了在可结构宇宙中存在群，群的自同构塔通过强迫是高度可延展的。
这是这样一个事实的结果，即在合适的菱形假设下，存在足够多的高刚性非同构Souslin树，其同构关系可以通过强制精确控制。
15荟萃论真理的证据HYPERUNIVERSE计划（EVIDENCEFOR SET-THEORETIC TRUTH AND THEHYPERUNIVERSE PROGRAMME）。
⑧在广义多元宇宙中上下移动（Moving Up and Down in the Generic Multiverse）我们简要介绍了一般多元宇宙的模态逻辑。
是一个双模态逻辑，运算符与关系“是一个强制”相对应。
“and”的扩展是“and”的基础模型。
被称为强迫的模态逻辑，我们在早期的事情中研究过。
这第二种关系的片断被称为理由和意志的模态逻辑这是第一次在这里学习。
另外，我们讨论了哪些组合的模态逻辑对于这两个片段是可能的。
⑨荟萃论的每一个可数模型都嵌入到它自己的可结构性中宇宙（Every countable model of set theory embeds into its own constructible universe）本文的主要定理是荟萃论的每一个可数模型 M，包罗每个有良好基础的模型，同构于它自己的子模型换句话说，有一个嵌入的$j:M\到L^M$对于无量词的断言是基本的。
证明使用通用有向图。
组合数学，包罗可数随机有向图的非循环版本，我称之为可数随机Q阶有向图和更高的类似物作为不行数的Fraisse极限发生，导致催眠有向图，荟萃齐次、类通用、超实数分级的非循环类有向图，与超现实数字紧密相连。
证明讲明$L^M$包罗一个子模型，它是秩为$Ord^M$的泛无环有向图。
证明了荟萃论的可数模型是线性的按嵌入性预先排序：对于荟萃论的任意两个可数模型，它们中的一个同构于另一个的子模型。
由嵌入性在有序类型中精确$\ω_1+1$预先良好有序。
具体来说，可数的有良好基础的模型按嵌入性排序凭据序数的高度；每个较短的模型嵌入每一个更高的模型；荟萃论$M$的每一个模型对所有的都是通用的秩至多$Ord^M$的可数有依据二元关系，且荟萃论的病态模型对所有可数的非循环二进制是普遍的最后，增强Ressayre的一个经典定理，同样证明要领讲明，如果$M$是PA的任意非尺度模型，则每个荟萃论的可数模型--特别是ZFC的每个模型--是同构于$M$的遗传有限集$HF^M$的子模式。
确实，$HF^M$对于所有可数的非循环二元关系是通用的。
⑩荟萃论多重宇宙（The set-theoretic multiverse）荟萃论中的多元宇宙观，在这篇文章中被介绍和论证，是这样一种看法：荟萃有许多差异的看法，每个看法都在一个相应的荟萃论宇宙。
相反，宇宙观认为有一个绝对配景集看法，有一个相应的绝对配景集荟萃论宇宙，其中每个荟萃论问题都有一个确定的回覆。
多元宇宙的立场，我认为，解释了我们的经验与荟萃论可能性的巨大多样性，这一现象对宇宙观，特别是，我认为连续体假说通过我们对多元宇宙行为的广泛了解，确定了多元宇宙的看法在多元宇宙中，因此它不能再以以前希望的。
［玄宇宙种的高度反射］
Sharp/不行辨认生成-真理反射：
例子：0＃存在下的L，可测Vk的无穷迭代
形式：
1.强化Feferman宇宙链：
若V的高度至少是不行达基数，则有初等链：
Vk1→Vk2→Vk3→...→V∞，其中任意i，j∈V∞，都有Vki→Vkj，而且对于任意i∈∞，都有Vki→V∞
2.强不行辨认性
更一般的，对于任意两个n-元组(Wi1，Wi2，Wi3...)，(Wj1，Wj2，Wj3...)，以及任意两个n元递增序列(i1＜i2＜i3...＜in)，(j1＜j2＜j3...＜jn)，都有(Wj1，Wj2，Wj3...)和(Wi1，Wi2，Wi3...)满足相同的，带Wi1∩Wj1中参数的一阶句子
3.高阶不行辨认性：
借鉴亚紧致基数的模式，对于任意位于初等链上的秩ki，kj，用H(ki+)^V与H(kj+)^V满足相同的一阶语句来模拟Vki与Vkj满足相同的二阶语句，考虑带参数的情况，由于ki在H(ki+)中的最大基数职位在H(kj+)中不再保持，正确的带参形式应该是如下的形式：
H(ki+)满足φ(ki)当且仅当H(kj+)满足kj，且存在非平凡初等嵌入j：H(ki+)→H(kj+)，且j(ki)＝kj
高阶不行辨认性在如下意义上获得了“外宇宙链”的支持：
从H(ki+^a)到H(kj+^a)的嵌入不需要在V中，只需要在“真宇宙”中存在即可
4.高阶强不行辨认链：
考虑两个由诸宇宙组成并允许高阶参数的结构：
Wi＝＜H(ki0+^α)，H(ki1+^α)，H(ki2+^α)...＞，
Wj＝＜H(kj0+^α)，H(kj1+^α)，H(kj2+^α)...＞，以及任意两个n元递增序列(i1＜i2＜i3...＜in)，(j1＜j2＜j3...＜jn)，总有非平凡初等嵌入j:Wi→Wj，且可以带任意通过初等嵌入“对应”的参数
也即是，Wi和Wj满足相同的一阶句子，这等价于两个由宇宙组成的结构满足相同的α阶句子，且带任意通过初等嵌入获得的参数
考虑将语言扩展到更高阶的情况，若语言允许将H(k+^α)视为参数，则获得由宇宙间聚合组成的二重聚合结构之间的正确链，同理，这样的反射可以像任意阶扩展
不行辨认反射中介更少，更直接，而且支持宇宙间关系反射，注意到超宇宙反射需要以On为中介进行多次反射才气将宇宙内的k发送到外宇宙序数Ω，而不行辨认/sharp反射允许将任意有限参数，以及宇宙自己作为参数的句子φ(V*，x1*，x2*...xn*)反射回V中，获得形如φ(Vk，x1，x2，x3...xn)←→φ(V*，x1*，x2*...xn*)的反射结果，也即，存在非平凡初等嵌入(这个嵌入不需要在V中或V*中)j:V→V*，cr(j)＝k，且j(k)＝k*，任意x∈V，都有j(x)＝x*
5.不行辨认生成
称宇宙V是不行辨认生成的，当且仅当：
1.有一个长度为 On的连续序列κ0＜κ1＜...，使得κOn=On，而且有换元初等嵌入πi，j:V→V，其中πi，j有临界点κi且π(κi)＝κj
2.对于任何 i≤j，V的任何元素在V中都可以被πi，j值域中的元素和{κ?:i≤?＜j}内的元素一阶界说
6.＃-生成
称一个结构(N，U)是一个sharp，当且仅当：
1.N是一个弱ZFC模型(ZFC-pow，替换正义可以换成收集正义)，且存在最大基数k，且k是一个强不行达基数——允许存在这样一种情况，对于任意α＜k，P(α)∈N，但是对k自己则有P(k)?N
2.(N，U)是amenable的，即x∈N蕴含x∩U∈N
3.U是k上的一个normal超滤，对于任意退行函数f:k→k，f(α)＜α，存在β＜k，使得{α:f(α)＝β}∈U
4.N是可迭代的，而且任意从(N，U)出发的迭代超幂都是良基的(N自己虽然也是)，它们组成一条无界长的迭代链：
(N，U)→(N1，U1)→(N2，U2)→...
对于任意i，j，i＜j，有πij(Ni)＝Nj，πij(Ui)＝Uj
虽然这样的初等嵌入会被宇宙识别为Σ1初等嵌入，但是在宇宙外可以归纳证明其为初等嵌入，证明的焦点思想为：
取j:Ni→Nj为Σ1初等嵌入，对于任意Σ1语句φ，Nj满足任意x，φ(x)，则存在Vα^Nj，任意x∈Vα^Nj，φ(x)，由于j为共终嵌入，因此存在β∈Ni，j(β)＞α，选取对应的β，使得Nj满足，任意x∈Vj(β)^Nj，φ(x)，则由于有界量词句子的庞大度为△0，Mi也满足任意x，φ(x)
称宇宙V为＃生成的，当且仅当存在一条长度为V的高度的迭代链：(N，U)→(N1，U1)→(N2，U2)→...，且V即是Vki^Ni(i∈∞)的联合
可以知道，这两个界说是等价的
7.SIMH＃+LCA
1.强＃-最大化
称宇宙V为强＃-最大化，当且仅当：
·V是＃-生成的
·对于任意＃-生成的V的外模型V*，若一个带有参数ω1，ω2的句子在V*的一个尊重参数的内模型上建设，则它也会在V的一个内模型上建设
2.称V满足SIMH＃，当且仅当V是强＃-最大化的
3.+LCA
如果存在无界多武丁基数和在此之上的一个不行达基数，则对于语句φ，若φ被Vk(k为可测基数)满足，则存在一个通报模型同时满足SIMH＃+φ
具体建构为：取(H(k+)，U)为N0，则由于k为可测基数，N0为一个sharp，将N0迭代到足够的高度，获得WF(N∞)＝M，使得M包罗见证SIMH＃建设的A，同时，由于Vk∞是初等链的联合，Vk与Vk∞配合满足φ
Sharp以自己的方式容纳了任意强的大基数正义
8.(缝合怪)Ω-SIMH＃+LCA
1.Ω-SIMH
假设存在一个给超紧基数的弱扩张内模型(简称终极内模型，LΩ)
对于任意带参数(ω1，ω2)的一阶命题φ，若φ在V的某个尊重参数的外模型中建设，则它也在V中的某个终极内模型LΩ(φ)中建设
2.Ω＃
正如L是不行辨认生成的等价于0＃存在等价于存在L到L的非平凡自嵌入。
我们不妨假设对于任意终极内模型LΩ(*)，LΩ(*)是不行辨认生成的当且仅当存在LΩ(*)的非平凡初等自嵌入。
这似乎体现了某种Ω＃的存在，也即体现了V＝LΩ的失败，但正如＃-生成可以与V＝L共存一般——只要那个见证V≠终极L的初等嵌入在V之外。
我们可以设想存在任意多个满足V＝LΩ(*)的宇宙V，它们都可以通过某个sharp迭代到足够多步之外，以至于最终获得的ZFC模型M满足SIMH＃，这样获得的M可以称为(由LΩ(*)生成的)终极V。
正如终极L的非唯一性，如今生成的终极V也是不唯一的。
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【秃顶】
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【秃顶ζ】
【煎蛋ζ】}（整活要素为主）
【烤蛋ζ】
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【神识品级：5】[寄点]系列
[寄线]系列
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[寄面]系列
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【神识品级：6】[寄体]系列
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【神识品级：7】ω/普通空间（详见世界观。）
多重空间
【神识品级：8】空间网
【神识品级：9】空间盒
【神识品级：10】空间结构
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空间宇宙【无法以尺度权衡】